Очень часто возникает вопрос: "Насколько точно транслируется время со спутника?"

Попытаемся на него ответить произведя несколько расчётов:

Специальная теория относительности (СТО)

Общая теория относительности (ОТО)

Давайте попытаемся посчитать эффекты СТО и ОТО для спутников GPS.
Для расчетов воспользуемся формулой замедления времени в первом приближении, которую вывел Эйнштейн в работе "О влиянии силы тяжести на распространение света": t' = t(1+dФ/c²), где dФ - разность потенциалов. Потенциал считаем по формуле Ф=GM/R, где G-гравитационная постоянная, M-масса гравитирующего тела, R-расстояние до его центра. Единицы измерения выберем по СИ, тогда G=6.7^.10^-11, M_солнца=2^.10³⁰, M_земли=6^.10²⁴, c=3^.10⁸.

1.Некоторые учёные правильно утверждают, что "у нас нет часов вне Земли или околоземной орбиты". Но мы все равно попытаемся представить некую лабораторию, которая летает рядом с Землей по строго круговой орбите вокруг Солнца. В этом варианте рассчитаем, как будет меняться ход часов на Земле относительно часов в такой лаборатории. Относительные скорости будут отличаться незначительно, поэтому рассчитаем лишь эффект ОТО:
dФ/с² = GM(R₂-R₁)/(c²R₁R₂)
Подставляем массу Солнца и минимальный и максимальный радиус орбиты Земли:
dФ/с² = 6.7^.10^-11.2^.10^30.(1.52-1.47)^.10¹¹/(1.52^.1.47^.10^22.9^.10¹⁶)
Получаем около 3.3^.10^-10. То есть за сутки (86400с) получим разность хода 29000 нс (наносекунд).

2.Посчитаем эффект ОТО "ускорения" хода часов спутника по сравнению с Земной поверхностью без учета влияния Солнца. Опять dФ/с² = GM(R₂-R₁)/(c²R₁R₂).
Подставляем массу Земли, радиус орбиты спутника (26600км) и радиус Земли (6400км):
dФ/с² = 6.7^.10^-11.6^.10^24.(2.66-0.64)^.10⁷/(2.66^.0.64^.10^14.9^.10¹⁶)
Получаем около 5.2^.10^-10. То есть за сутки получим разность хода 45000 нс - близко совпадает с данными (мы округляли).

3.Посчитаем эффект СТО "замедления" хода часов спутника по сравнению с системой отсчета, покоящейся относительно центра Земли без учета влияния Солнца. Здесь мы используем стандартную формулу sqrt(1-v²/c²), которую в первом приближении заменим на 1-v²/(2c²). Скорость спутника 3.9км/с, поэтому "замедление":
v²/(2c²) = 15.2^.10⁶/(2^.9^.10¹⁶)
Получаем около 0.84^.10^-10. То есть за сутки получим разность хода 7300 нс - близко совпадает с данными (мы округляли).

4.Теперь учтем влияние Солнца в том смысле, что спутник имеет период 12 часов и каждые 6 часов он оказывается то ближе к Солнцу, то дальше от него. Орбиты спутников имеют наклон, поэтому вычислим максимальный эффект - будем считать, что максимальная разница между Землей и ИСЗ составляет 6400+26600=33000км. Так как спутник движется по окружности, то за 6 часов он в среднем находится на половинном расстоянии, поэтому dR=17000км.
dФ/с² = GM(dR)/(c²R²)
Подставляем массу Солнца, dR и радиус орбиты Земли:
dФ/с² = 6.7^.10^-11.2^.10^30.1.7^.10⁷/(2.25^.10^22.9^.10¹⁶)
Получаем около 1.1^.10^-12. То есть за 6 часов (21600с) получим разность хода 25 нс (наносекунд). Как видно, это находится в пределах суточного расхождения. А если еще учесть, что каждые 6 часов положение спутника и земного наблюдателя меняются на противоположные, то этот эффект за сутки сам себя компенсирует!

5.Осталось учесть полугодовые колебания эффекта из предыдущего пункта, вызванного эксцентриситетом земной орбиты. К последнему ответу надо применить поправку R₂-R₁/R, где R-средний радиус земной орбиты, а R₂ и R₁ - экстремальные значения: (1.52-1.47)/1.5 - около 0.033. Применяем эту поправку к результату предыдущего пункта за 6 часов:
25^.0.033 - около 1нс, что опять же подтверждает чрезвычайную малость эффекта (который, к тому же, еще и сам себя компенсирует за сутки).

Итак, вывод: расхождение в данных о времени, отправленном с земли (атомные часы), и в дальнейшем ретранслируемом со спутника слишком малы чтобы повлиять на инженерные расчёты в GPS. Нужно еще учитывать, что каждые сутки производится корректировка часов GPS, поэтому ошибка не накапливается.